Gestion des paramètres de nuisance en maximisant la vraisemblance sur ceux-ci pour chaque valeur du paramètre d'intérêt.En inférence statistique, on s'intéresse souvent à un paramètre particulier (par exemple, la masse d'une particule), mais il faut aussi tenir compte d'autres paramètres « de nuisance » (comme l'étalonnage du détecteur) qui ne nous intéressent pas mais qui affectent les données. La vraisemblance profilée est une façon de se concentrer sur le paramètre d'intérêt : pour chaque valeur possible de ce paramètre, on trouve les valeurs les mieux ajustées de tous les paramètres de nuisance en maximisant la vraisemblance, puis on enregistre uniquement la valeur maximale de la vraisemblance. On obtient ainsi un « profil » de la vraisemblance en fonction du paramètre d'intérêt, que l'on peut utiliser pour construire des intervalles de confiance ou tester des hypothèses.
Le concept a été introduit par des statisticiens au milieu du XXe siècle, notamment par Jerzy Neyman, puis formalisé par d'autres ; le terme « vraisemblance profilée » est devenu standard dans les années 1970.
Imaginez une fonction de vraisemblance qui dépend à la fois du paramètre d'intérêt θ et des paramètres de nuisance ν. Pour un θ fixé, on maximise sur ν, obtenant L_profil(θ) = max_ν L(θ, ν). En répétant cette opération pour de nombreuses valeurs de θ, on obtient une courbe unidimensionnelle. Le rapport de ce profil à son maximum suit approximativement une loi du chi-deux (théorème de Wilks) sous certaines conditions de régularité, ce qui permet de dériver des intervalles de confiance. Cette approche est efficace sur le plan calculatoire car on n'a pas à intégrer sur les paramètres de nuisance, mais seulement à optimiser.
Largement utilisée en physique des particules (par exemple, pour les mesures de la masse du boson de Higgs et de l'intensité du signal) et en cosmologie pour l'estimation des paramètres à partir des données du fond diffus cosmologique.
La vraisemblance profilée peut donner des intervalles trompeusement étroits lorsque les paramètres de nuisance sont mal contraints, un phénomène connu sous le nom de « problème de la vraisemblance profilée ».
