стохастические дифференциальные уравнения

Тромб растёт, как снежный ком, катящийся с горы: сперва маленький, он цепляет всё новые слои, а в какой момент превратится в лавину — угадать трудно. В крови запускается длинная цепочка реакций — каскад свёртывания, — где одно вещество будит другое, и сгусток набирает массу.

Многие природные процессы описываются дифференциальными уравнениями, но в распоряжении учёных часто оказываются лишь фрагментарные данные — своего рода обрывки карты. Новый вычислительный метод работает как картограф, восстанавливающий целостную карту местности по немногим ориентирам.

Ранняя Вселенная раздувалась с невообразимой скоростью — быстрее, чем свет успевал бы её пересечь. В этом кипящем котле любая область пространства была похожа на открытую банку с краской: её границы непрерывно захватывали новый «пар» извне, а часть собственного содержимого безвозвратно ускользала.

Пламя свечи на сквозняке пляшет: то вспыхнет, то почти погаснет. Примерно так же ведут себя квазары — сверхмассивные чёрные дыры в центрах далёких галактик, окружённые раскалённым диском падающего вещества. Только колеблются они не за секунды, а за месяцы и годы.

Три близнеца на бегу постоянно меняются одеждой. Примерно так ведут себя нейтрино — почти неуловимые частицы, пронизывающие нас триллионами каждую секунду. Они рождаются в ядерных реакциях, например в недрах Солнца, и существуют в трёх вариантах, или «ароматах». Но вот что странно: по пути от источника нейтрино может сменить аромат, превратиться из электронного в мюонный или тау-нейтрино.

Два музыканта играют дуэтом. В идеальном зале они слышат друг друга идеально и постепенно входят в резонанс. Но попробуйте играть в комнате, где кто-то постоянно хлопает дверью. Казалось бы, ритм собьётся. А вот и нет: иногда именно этот случайный хлопок заставляет обоих подстроиться мгновенно. Примерно так ведут себя две квантовые частицы — кубиты — когда вокруг них шумит среда.

Капля чернил в стакане воды расплывается равномерно, но в чашке с кусочками фруктового желе чернила пойдут извилистыми путями — где-то застрянут, где-то проскочат. Так и молекулы в живых клетках или пористых материалах движутся не по гладкому полю, а сквозь среду с беспорядком: где-то гуще, где-то жиже.

Когда массивная звезда исчерпывает ядерное топливо и схлопывается в сверхновую, рождается нейтронная звезда — объект диаметром с небольшой город, но с массой, сравнимой с солнечной. Её вещество сжато до такой степени, что одна чайная ложка этого материала весила бы больше, чем гора Эверест.

Под землёй скрыто многое: вода, руда, песок, глина. Чтобы понять, что там, не обязательно копать. Достаточно пропустить через грунт слабый переменный ток и послушать, как порода «отвечает» на разных частотах. Этот приём называется спектральной вызванной поляризацией. По отклику можно судить о составе: например, глина и песок реагируют по-разному.

Каждые несколько лет тёплое течение у берегов Перу сдвигается, и рыбаки остаются без улова. Это Эль-Ниньо, дыхание тропического Тихого океана, которое влияет на погоду от Индонезии до Калифорнии. Предсказать его появление так же трудно, как предсказать, куда покатится камень, брошенный в бурную реку.

Космическая пыль — это не грязь, а мельчайшие крупинки, похожие на сажу от костра, только разбросанные между звёзд. Некоторые из них крутятся с бешеной скоростью, миллионы раз в секунду, и при этом испускают слабые радиоволны. Астрономы называют это аномальным микроволновым излучением — оно мешает изучать раннюю Вселенную, но и само по себе загадочно.

Квантовое состояние под непрерывным измерением — это не застывшая картина, а случайный танец. Каждый исход измерения слегка сдвигает состояние в ту или иную сторону, и чтобы предсказать будущее, нужно отслеживать всю траекторию. Для систем с большим числом уровней это вычислительный кошмар: матрица плотности растёт экспоненциально с размером системы.

В большом концертном зале звук отражается от стен, и даже если стоять в углу, по эху можно угадать форму помещения. Примерно так же устроена задача, которую решают авторы: как по «эху» в данных, собранных лишь с части системы, восстановить её скрытые ритмы. В физике и климатологии часто бывает, что наблюдать все переменные невозможно, а доступен лишь временной ряд одной величины.