grandeur

facteur de Lorentz

Un facteur décrivant comment le temps, la longueur et la masse relativiste changent pour un objet se déplaçant à grande vitesse.
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Description

Le facteur de Lorentz, noté γ (gamma), est le cœur mathématique de la relativité restreinte. Il quantifie à quel point le temps ralentit, les longueurs se contractent et la masse relativiste augmente pour un objet en mouvement par rapport à un observateur. Aux vitesses quotidiennes, γ vaut essentiellement 1, ce qui signifie que les effets relativistes sont négligeables ; à mesure que la vitesse approche celle de la lumière, γ croît sans borne, rendant ces effets spectaculaires. On le retrouve dans presque toutes les équations relativistes, de la relation énergie-impulsion E = γmc² à la transformation des champs électrique et magnétique.

Histoire

Le facteur a été introduit par Hendrik Lorentz en 1904 dans le cadre de sa théorie des électrons, puis intégré par Einstein dans la relativité restreinte en 1905. Lorentz l'a dérivé pour expliquer le résultat nul de l'expérience de Michelson-Morley, bien que la dérivation d'Einstein à partir des postulats fût plus fondamentale.

Comment ça marche

Le facteur est défini par γ = 1 / √(1 − v²/c²), où v est la vitesse de l'objet et c la vitesse de la lumière. Lorsque v est petite devant c, le dénominateur est proche de 1, donc γ ≈ 1. À mesure que v approche c, le dénominateur tend vers zéro, et γ explose. Ce nombre unique met à l'échelle les intervalles de temps (dilatation du temps), les longueurs (contraction des longueurs) et l'impulsion de manière cohérente, garantissant que la vitesse de la lumière reste constante pour tous les observateurs.

En pratique

Le facteur de Lorentz est essentiel pour les corrections des satellites GPS, la conception des accélérateurs de particules (par exemple au CERN) et le calcul de l'énergie des rayons cosmiques.

Anecdote

À 99,999999 % de la vitesse de la lumière, le facteur de Lorentz est d'environ 7 000, ce qui signifie que le temps s'écoule pour une particule 7 000 fois plus lentement que pour un observateur immobile.

Concept graph →

Formules

$$K > (\gamma - 1) m c^2$$
Particle kinetic energy exceeds rest mass energy threshold.
Ce qu'il y a dans la formule
Kvariablekinetic energy — énergie cinétique joule
γvariableLorentz factor — facteur de Lorentz
mvariablerest mass — masse kilogram
cvariablespeed of light — vitesse de la lumière metre per second
cconstanteThe speed of light in vacuum, a fundamental constant of nature. — vitesse de la lumière = 299792458 metre per second
$$L = 4\pi R^2 n \gamma m c^3$$
Limits luminosity from kinetic energy flux.
Ce qu'il y a dans la formule
LvariableLuminosity (total power emitted) — luminosité watt
RvariableRadius of the emitting region — rayon metre
nvariableNumber density of particles — number density per cubic metre
γvariableLorentz factor of the particles — facteur de Lorentz
mvariableParticle rest mass — masse kilogram
cconstanteSpeed of light in vacuum, the maximum speed for any particle. — vitesse de la lumière = 299792458 metre per second
$$\Gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - \beta^2}}$$
Factor relating time dilation and length contraction in relativity.
Ce qu'il y a dans la formule
ΓvariableLorentz factor — facteur de Lorentz
βvariablespeed in units of c — vitesse
$$\nu_c = \frac{3}{2}\gamma^2 \frac{e B}{2\pi m_e c}$$
Frequency of radiation from relativistic electrons in magnetic field.
Ce qu'il y a dans la formule
\nu_cvariableCritical synchrotron frequency — fréquence hertz
\gammavariableLorentz factor of electron — facteur de Lorentz
evariableElementary charge — charge élémentaire coulomb
BvariableMagnetic field strength — densité de flux magnétique tesla
m_evariableElectron rest mass — masse de l'électron kilogram
cvariableSpeed of light in vacuum — vitesse de la lumière metre per second
$$\delta = \frac{1}{\Gamma (1 - \beta \cos\theta)}$$
Relativistic Doppler factor for a moving source.
Ce qu'il y a dans la formule
\deltavariableDoppler factor — doppler factor
\GammavariableLorentz factor — facteur de Lorentz
\betavariablevelocity in units of c — vitesse
\thetavariableangle between source velocity and line of sight — angle radian
$$-\frac{dE}{dx} = \frac{4\pi N_A r_e^2 m_e c^2 \rho z^2}{A \beta^2} \left[ \ln\left(\frac{2m_e \gamma^2 v^2 W_{\text{max}}}{I^2}\right) - 2\beta^2 - \delta - 2\frac{C}{Z} \right]$$
Energy loss of charged particles due to ionization in matter.
Ce qu'il y a dans la formule
EvariableKinetic energy of the charged particle — énergie joule
xvariablePath length in the material — longueur metre
\rhovariableDensity of the absorbing material — densité kilogram per cubic metre
zvariableCharge number of the incident particle — charge number
AvariableAtomic mass number of the absorber — atomic mass number
\betavariableSpeed of the particle relative to the speed of light — velocity ratio
\gammavariableLorentz factor of the particle — facteur de Lorentz
vvariableSpeed of the particle — vitesse metre per second
W_{\text{max}}variableMaximum energy transfer in a single collision — énergie joule
IvariableMean excitation potential of the absorber — énergie joule
\deltavariableDensity correction factor — density correction
CvariableShell correction factor — shell correction
ZvariableAtomic number of the absorber — atomic number
N_AconstanteNumber of constituent particles per mole — constante d'Avogadro = 6.02214076e23 per mole
r_econstanteRadius of a classical electron — rayon classique de l'électron = 2.8179403262e-15 metre
m_econstanteRest mass of the electron — masse de l'électron = 9.1093837015e-31 kilogram
cconstanteSpeed of light in vacuum — vitesse de la lumière = 299792458 metre per second
-\frac{d}{dx}opérateurNegative derivative with respect to path length — negative derivative
\lnopérateurNatural logarithm — logarithme naturel

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