Распределение величины, логарифм которой гауссов; возникает из мультипликативных процессов.Логнормальное распределение описывает случайную величину, логарифм которой распределён нормально. Оно естественным образом возникает, когда величина является произведением множества независимых положительных факторов, таких как цены на акции, уровни доходов или размеры биологических организмов. В отличие от нормального распределения, оно скошено вправо и принимает только положительные значения, что делает его подходящим для данных, которые не могут быть отрицательными.
Это распределение впервые было изучено шотландским математиком Джоном Айчисоном и его коллегами в 1950-х годах, хотя его использование в экономике восходит к работе Роберта Жибрата 1931 года о «законе пропорционального эффекта».
Если Y распределена нормально со средним μ и дисперсией σ², то X = e^Y имеет логнормальное распределение. Плотность вероятности задаётся формулой f(x) = (1/(xσ√(2π))) * exp(-(ln x - μ)²/(2σ²)) для x > 0. Среднее значение X равно exp(μ + σ²/2), а медиана — exp(μ). Асимметрия распределения увеличивается с ростом σ, что делает его сильно несимметричным при большой дисперсии.
Оно широко используется в финансах для моделирования цен активов (например, доходности акций), в науках об окружающей среде для концентраций загрязняющих веществ, а также в биологии для размеров организмов или инкубационного периода заболеваний.
Произведение множества независимых положительных случайных величин стремится к логнормальному распределению, даже если сами величины не являются логнормальными, благодаря центральной предельной теореме, применённой к их логарифмам.
