Стационарный гауссовский процесс, задаваемый линейным стохастическим дифференциальным уравнением с возвратом к среднему.Процесс Орнштейна–Уленбека — это математическая модель величины, которая стремится вернуться к некоторому центральному значению, но постоянно испытывает случайные толчки. Представьте шарик, катящийся в неглубокой чаше: сила тяжести тянет его ко дну, но если вы беспорядочно постукиваете по нему, он никогда не останавливается точно в центре — он блуждает вокруг него. Этот процесс является непрерывным во времени аналогом такой картины. Это простейший стационарный гауссовский процесс, то есть его статистические свойства не меняются со временем, и он часто используется как строительный блок для более сложных случайных моделей.
Процесс назван в честь Леонарда Орнштейна и Джорджа Уленбека, которые ввели его в 1930 году для описания скорости частицы, совершающей броуновское движение, с учётом трения и случайных столкновений.
Математически он задаётся стохастическим дифференциальным уравнением: изменение переменной за малый промежуток времени равно сумме члена, возвращающего её к среднему значению (пропорционального отклонению от среднего), и случайного шумового члена. Возвращающая сила линейна, поэтому процесс является гауссовским (его значения подчиняются колоколообразному распределению). Сила возврата и интенсивность шума определяют, насколько быстро происходит возврат и как сильно колеблется величина. При больших временах процесс достигает стационарного распределения, то есть его среднее и дисперсия становятся постоянными.
Он широко используется в финансах для моделирования процентных ставок и цен на сырьевые товары, в физике — для описания релаксации с шумом, а в нейронауке — для моделирования мембранных потенциалов нейронов.
Процесс Орнштейна–Уленбека — единственный стационарный гауссовский марковский процесс в непрерывном времени, что делает его уникальным и фундаментальным объектом в теории вероятностей.
