Математическое уравнение, описывающее распространение волн, аналогичное уравнению для волн на веревке.Волновое уравнение — это фундаментальное математическое уравнение, описывающее, как волны распространяются через среду или поле. Оно связывает вторую производную смещения волны по времени со второй производной по пространству, с постоянным множителем, представляющим скорость волны. Это уравнение применимо к огромному диапазону явлений: от звуковых волн в воздухе и сейсмических волн в Земле до световых волн в электромагнетизме и гравитационных волн в пространстве-времени.
Волновое уравнение было впервые сформулировано Жаном Лероном Д’Аламбером в 1746 году для вибрирующих струн, а позже обобщено Леонардом Эйлером и Даниилом Бернулли. В 1860-х годах Джеймс Клерк Максвелл распространил его на три измерения и применил к свету.
Волновое уравнение работает, выражая принцип, согласно которому ускорение волнового возмущения в любой точке пропорционально кривизне волны в этой точке. Это означает, что локализованное возмущение, например, щипок струны, распространяется наружу по предсказуемой схеме. Решения уравнения — это функции, описывающие форму и движение волны, и они могут быть суперпозициями — то есть несколько волн могут проходить через одну и ту же область, не изменяя друг друга необратимо, поэтому волны могут переносить информацию на большие расстояния.
Волновое уравнение используется в сейсмологии для моделирования распространения землетрясений, в акустике для проектирования концертных залов и в телекоммуникациях для моделирования распространения сигналов по оптическим волокнам. Оно также является центральным в численном моделировании гравитационных волн от слияния черных дыр.
Волновое уравнение линейно, что означает, что две волны могут проходить друг сквозь друга, не взаимодействуя — именно поэтому в переполненной комнате можно различать отдельные разговоры, даже когда звуковые волны перекрываются.
