متوسط المجموعة الإحصائية — من تشريح الصيغةمتوسط المجموعة الإحصائية هو متوسط كمية فيزيائية على مجموعة كبيرة من الأنظمة المحضّرة بشكل متطابق، تسمى مجموعة إحصائية. في الميكانيكا الإحصائية، يحل محل متوسط الزمن لنظام واحد على مدى فترة طويلة، وفق فرضية الإرغودية التي تنص على تساويهما. هذا المفهوم أساسي لربط الديناميكا المجهرية بالخصائص الديناميكية الحرارية العيانية مثل درجة الحرارة والضغط والإنتروبيا.
قدّم جوزيه ويلارد غيبس مفهوم المجموعة الإحصائية في كتابه الصادر عام 1902 بعنوان 'المبادئ الأساسية في الميكانيكا الإحصائية'، بناءً على أعمال سابقة لكل من لودفيغ بولتزمان وجيمس كليرك ماكسويل. وقد وفّرت صياغة غيبس أساسًا متينًا للميكانيكا الإحصائية.
بالنظر إلى توزيع احتمالي ρ على الحالات المجهرية الممكنة لنظام ما، فإن متوسط المجموعة الإحصائية لكمية قابلة للرصد A يُعطى بالعلاقة ⟨A⟩ = ∫ A(x) ρ(x) dx (أو مجموع للحالات المنفصلة). تتوافق المجموعات الإحصائية المختلفة مع قيود فيزيائية مختلفة: المجموعة الميكروكانونية تثبّت الطاقة، والمجموعة الكانونية تثبّت درجة الحرارة، والمجموعة الكبرى الكانونية تثبّت درجة الحرارة والكمون الكيميائي. ثم يُحسب المتوسط بترجيح كل حالة مجهرية باحتمالها وفق توزيع المجموعة.
تُستخدم متوسطات المجموعة الإحصائية في محاكاة الديناميكا الجزيئية لحساب خصائص المواد، وفي طرق مونت كارلو للفيزياء الإحصائية، وفي التعلم الآلي لتقدير القيم المتوقعة من توزيعات البيانات.
في الميكانيكا الإحصائية الكمومية، يُحسب متوسط المجموعة الإحصائية لكمية قابلة للرصد كأثر لحاصل ضرب مصفوفة الكثافة والكمية القابلة للرصد، مما يربط مؤثر الأثر بهذا المفهوم.
| ⟨hν⟩ | متغير | Average photon energy — طاقة joule |
| T | متغير | Temperature of the blackbody — درجة الحرارة kelvin |
| c | ثابت | A numerical factor that depends on the frequency integration limits and the specific definition of 'average' (e.g., over the full spectrum). — proportionality constant = 2.701 |
| k_B | ثابت | Fundamental constant converting temperature to energy scale — ثابت بولتزمان = 1.380649e-23 joule per kelvin |
| ⟨ ⟩ | مؤثر | Statistical average over the photon distribution — متوسط المجموعة |
| C_{lm l'm'} | متغير | Angular power spectrum coefficients — angular power spectrum |
| a_{lm} | متغير | Spherical harmonic coefficients of temperature map — spherical harmonic coefficient kelvin |
| ⟨ ⟩ | مؤثر | Ensemble average over realizations — متوسط المجموعة |
| * | مؤثر | Complex conjugation — complex conjugate |
| η_i(t) | متغير | noise term at time t for component i — noise newton |
| η_j(t') | متغير | noise term at time t' for component j — noise newton |
| T | متغير | temperature — درجة الحرارة kelvin |
| γ | متغير | dissipation coefficient — dissipation coefficient kilogram per second |
| δ_ij | متغير | Kronecker delta — kronecker delta |
| δ(t-t') | متغير | Dirac delta function — dirac delta function per second |
| k_B | ثابت | relates energy to temperature — ثابت بولتزمان = 1.380649e-23 joule per kelvin |
| ⟨...⟩ | مؤثر | average over many realizations — متوسط المجموعة |
| C(t) | متغير | Normalized autocorrelation function of observable A — دالة الارتباط |
| A(t) | متغير | Value of observable A at time t — قابل للرصد varies |
| A(0) | متغير | Value of observable A at initial time — قابل للرصد varies |
| ⟨...⟩ | مؤثر | Averages the product over a statistical ensemble of initial conditions — متوسط المجموعة |
| MSD | متغير | Mean squared displacement — mean squared displacement metre squared |
| τ | متغير | Time lag — زمن second |
| x | متغير | Particle position — موضع metre |
| t | متغير | Time — زمن second |
| ⟨ ⟩ | مؤثر | Ensemble average over many trajectories or particles — متوسط المجموعة |
| [ ] | مؤثر | Difference between positions at two times — فرق |
| ² | مؤثر | Square of the displacement — square |
