estadística

estimación de máxima verosimilitud

Elegir los valores de los parámetros que hacen que los datos observados sean más probables bajo el modelo; el ajuste de cabecera de la física experimental.
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Descripción

La estimación por máxima verosimilitud (MLE) es la herramienta de cabecera del análisis de datos en física porque es a la vez intuitiva y estadísticamente potente. Proporciona una forma fundamentada de extraer la mejor estimación de una magnitud física a partir de mediciones ruidosas, y produce de manera natural las incertidumbres de esas estimaciones mediante la curvatura de la función de verosimilitud. También es la base de muchas técnicas avanzadas, como la inferencia bayesiana, que extiende la MLE incorporando conocimiento previo. En física de partículas, la MLE se utiliza para descubrir nuevas partículas comparando la verosimilitud de un modelo solo con fondo con la de otro que incluye una señal.

Historia

El método fue introducido por Ronald Fisher en la década de 1920, basándose en trabajos anteriores de Carl Friedrich Gauss y otros. Fisher formalizó el concepto de verosimilitud y demostró muchas de sus propiedades estadísticas deseables, convirtiéndolo en una piedra angular de la estadística moderna.

Cómo funciona

El método comienza con una distribución de probabilidad que describe cómo se generan los datos dados los parámetros del modelo. Por ejemplo, si se miden los tiempos de desintegración de una muestra radiactiva, se podría suponer que siguen una distribución exponencial con un parámetro de tasa λ. La función de verosimilitud L(λ) es el producto de las probabilidades de cada punto de datos observado, dado λ. Para encontrar el máximo, normalmente se toma el logaritmo de la verosimilitud (ya que es más fácil trabajar con sumas que con productos) y luego se encuentra el valor del parámetro que hace que la derivada sea cero. Esto se puede hacer analíticamente para modelos simples o numéricamente para los complejos. La estimación resultante se denomina estimación por máxima verosimilitud, y su incertidumbre se deriva a menudo de la segunda derivada del logaritmo de la verosimilitud, que proporciona la información de Fisher.

En la práctica

La MLE se utiliza en prácticamente todos los análisis experimentales de física, desde el ajuste de trayectorias de partículas en detectores hasta la estimación de la constante de Hubble a partir de datos de supernovas, y también se aplica ampliamente en campos como la economía, la biología y el aprendizaje automático.

Dato curioso

La estimación por máxima verosimilitud no siempre es insesgada; por ejemplo, la MLE de la varianza de una distribución normal es, en promedio, ligeramente demasiado pequeña, pero sigue siendo el estimador más eficiente en muchos casos, lo que significa que tiene la varianza más pequeña posible entre los estimadores insesgados.

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