concept

fonction de partition

The partition function is a statistical mechanics tool that sums over all possible states to determine thermodynamic properties like temperature.
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Description

La fonction de partition (ou somme d’états) est une grandeur centrale en physique statistique, reliant les propriétés microscopiques des particules aux paramètres macroscopiques comme la température et la pression. Elle sert à normaliser les probabilités : la somme des facteurs exponentiels de Boltzmann sur tous les microétats accessibles garantit que la probabilité totale vaut un. Pour un système à nombre de particules, volume et température fixés, Z = Σ e^(-E_i/(k_B T)), où E_i est l’énergie du i-ème état, k_B la constante de Boltzmann et T la température absolue. Connaissant Z, on peut en déduire l’énergie libre et toutes les grandeurs moyennes en la dérivant par rapport aux variables appropriées.

Histoire

Les racines du concept remontent aux travaux de Ludwig Boltzmann (années 1870), qui développait une interprétation statistique de l’entropie. Le terme « Zustandssumme » (somme d’états) fut proposé par Max Planck. Plus tard, Josiah Willard Gibbs systématisa le formalisme des ensembles et introduisit la notation moderne Z. En mécanique statistique quantique, la méthode fut étendue par Felix Bloch et d’autres durant la première moitié du XXe siècle.

Comment ça marche

On énumère les microétats du système avec leurs énergies E_i ; chacun reçoit un poids e^{-E_i/(k_B T)} qui décroît quand l’énergie augmente. La somme de ces poids donne Z. Toutes les grandeurs thermodynamiques moyennes s’obtiennent en dérivant le logarithme de Z par rapport aux variables conjuguées : par exemple, l’énergie moyenne ⟨E⟩ = -∂ ln Z/∂β, où β = 1/(k_B T). Dans le cas quantique, on utilise l’opérateur hamiltonien Ĥ et la trace Tr e^{-β Ĥ}, indépendante du choix de la base. Au voisinage des transitions de phase, le groupe de renormalisation s’appuie sur l’analyse des singularités de Z. La distribution de probabilité des états p_i = e^{-β E_i}/Z conduit directement à la formule d’entropie de Gibbs S = -k_B Σ p_i ln p_i.

En pratique

Elle permet de calculer la capacité thermique, l’entropie et d’autres paramètres thermodynamiques des substances, ainsi que de prédire les transitions de phase — comme l’ébullition d’un liquide ou l’aimantation d’un métal.

Anecdote

La fonction de partition intègre naturellement le second principe de la thermodynamique, ce qui permet de démontrer formellement l’impossibilité d’un moteur perpétuel de deuxième espèce.

Concept graph →

Formules

$$S_t = \\max(0, S_{t-1} + z_t - k)$$
Cumulative sum statistic for detecting changes in a process.
Ce qu'il y a dans la formule
S_tvariableCUSUM statistic at time t
S_{t-1}variableCUSUM statistic at previous time
z_tvariableObservation or standardized value at time t
kvariableAllowance or reference value (positive constant)
maxopérateurTakes the maximum of two numbers — maximum
s_t=\max(0,s_{t-1}+z_t-k) · 2607.00331
$$N = \frac{4\pi S_\nu \Delta\nu Q(T_{\rm rot})}{A_{ul} \Omega h c g_u e^{-E_u/kT_{\rm rot}}}$$
Column density derived from rotational molecular line emission.
Ce qu'il y a dans la formule
Nvariablecolumn density — densité de colonne per square metre
S_νvariableline flux density — spectral flux density joule per square metre per second per he
Δνvariableline width — frequency interval hertz
Qvariablerotational partition function — fonction de partition
T_rotvariablerotational temperature — température kelvin
A_ulvariableEinstein A coefficient — einstein a coefficient per second
Ωvariablesolid angle of source — solid angle steradian
hvariablePlanck constant — constante de Planck joule second
cvariablespeed of light — vitesse de la lumière metre per second
g_uvariabledegeneracy of upper level — dégénérescence
E_uvariableenergy of upper level — énergie joule
kvariableBoltzmann constant — constante de Boltzmann joule per kelvin

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