
Обработка сигналов — это метод анализа, модификации и синтеза сигналов, таких как звук, свет или микроволны.Обработка сигналов — это математический инструмент для работы с информацией, закодированной в изменениях физической величины (звуковое давление, напряжение, яркость). Аналоговый сигнал оцифровывают: с заданной частотой измеряют мгновенные значения, получая поток отсчётов. Затем применяют алгоритмы для фильтрации (убирают помехи), сжатия (MP3 использует психоакустику, чтобы удалить неслышимые частоты), восстановления (удаление смаза на фото). Центральная идея — преобразование Фурье, переводящее сигнал из временной области в частотную: график колебаний становится спектром, где видна амплитуда каждой частотной составляющей. На этом строится вся индустрия связи, звукозаписи и медицинской визуализации.
Корни уходят в гармонический анализ Жана Фурье (1822), хотя разложение в тригонометрические ряды встречалось и раньше. В XX веке импульс дали работы Найквиста и Шеннона по дискретизации, а затем цифровая революция 1960-1970-х породила алгоритмы быстрого преобразования Фурье (Кули и Тьюки, 1965), сделавшие спектральный анализ быстрым. Развитие интегральных схем позволило внедрить обработку в реальном времени — от CD-плееров до сотовой связи. В XXI веке методы сжатия (JPEG, MPEG), вейвлет-преобразования и нейросетевые подходы расширили возможности обработки сигналов до неузнаваемости.
Базовый цикл: с помощью АЦП сигнал превращается в последовательность отсчётов x[n]. Далее применяется цифровой фильтр, описываемый разностным уравнением, например, y[n] = Σ b_k x[n-k] – Σ a_k y[n-k] (рекурсивный фильтр). Для анализа частотного состава вычисляют дискретное преобразование Фурье: X[k] = Σ x[n] e^{-j2πkn/N}. На практике применяют быстрое преобразование Фурье (БПФ), снижающее сложность с O(N²) до O(N log N). Для нестационарных сигналов (где частоты меняются со временем) используют оконное преобразование Фурье или вейвлеты, локализованные и по времени, и по частоте. Современные системы связи строят на ортогональном частотном мультиплексировании (OFDM), разделяющем канал на тысячи поднесущих, чтобы бороться с многолучёвым замиранием.
Шумоподавление в телефонах, сжатие музыки в MP3, медицинские томографы, радары, передача данных по Wi-Fi — всё это работает благодаря алгоритмам обработки сигналов.
Формат MP3 выбрасывает около 90% данных, но для нашего уха разница почти незаметна — алгоритм опирается на то, как мозг маскирует слабые звуки громкими на близких частотах.
| z | переменная | Аналитический сигнал — analytic signal |
| x | переменная | Вещественный сигнал — сигнал |
| a | переменная | Мгновенная амплитуда — instantaneous amplitude |
| φ | переменная | Мгновенная фаза — instantaneous phase рад |
| t | переменная | Переменная времени — время с |
| H | оператор | Преобразование Гильберта, сдвигает фазу на -90° — hilbert transform operator |
| i | оператор | Мнимая единица, √(-1) — мнимая единица |
| W | переменная | Коэффициент вейвлет-преобразования — wavelet transform coefficient |
| s | переменная | Параметр масштаба — scale parameter |
| τ | переменная | Параметр сдвига — translation parameter с |
| x | переменная | Входной сигнал — сигнал |
| t | переменная | Переменная времени — время с |
| ψ* | переменная | Комплексно-сопряженная вейвлет-функция — wavelet function |
| ∫ | оператор | Интегрирование по времени — интегральный оператор |
























