Combiner des mesures de précisions différentes en pondérant chacune par l'inverse du carré de son incertitude.La moyenne pondérée est une méthode permettant de combiner plusieurs mesures d'une même grandeur lorsque celles-ci présentent des précisions différentes. Au lieu de prendre une simple moyenne arithmétique, chaque mesure est multipliée par un poids inversement proportionnel à sa variance (le carré de son incertitude). Cela donne plus d'influence aux mesures ayant les plus petites incertitudes, qui sont plus fiables. Le résultat est le meilleur estimateur linéaire sans biais de la valeur vraie, en supposant que les mesures sont indépendantes et que leurs erreurs suivent une loi gaussienne.
Le concept de pondération par l'inverse de la variance remonte au début du XIXe siècle, avec des contributions de Gauss et Legendre dans le cadre des moindres carrés. La formule explicite de la moyenne pondérée est un résultat standard de la théorie des erreurs.
Pour chaque mesure x_i avec une incertitude σ_i, le poids w_i est fixé à 1/σ_i². La moyenne pondérée est alors la somme de (w_i * x_i) divisée par la somme des w_i. L'incertitude de la moyenne pondérée est la racine carrée de l'inverse de la somme des poids. Cette formule découle naturellement de l'estimation par maximum de vraisemblance lorsque les erreurs sont gaussiennes, et c'est aussi la solution qui minimise le chi-carré pour un modèle constant.
Utilisée en physique des particules pour combiner les mesures des masses des particules issues de différentes expériences, en métrologie pour définir les étalons internationaux, et en astronomie pour combiner les observations provenant de différents télescopes.
Si toutes les incertitudes sont égales, la moyenne pondérée se réduit à la moyenne arithmétique ordinaire, de sorte que la moyenne pondérée en est une généralisation stricte.
