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relation de dispersion

La relation de dispersion décrit comment l'énergie ou la fréquence d'une onde dépend de sa longueur d'onde ou de son impulsion.
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Description

La relation de dispersion est une relation mathématique qui relie la fréquence (ou l'énergie) d'une onde à sa longueur d'onde (ou à son impulsion). C'est une propriété fondamentale de tout milieu, décrivant comment des ondes de différentes longueurs d'onde se propagent à des vitesses différentes. Cette relation détermine si une onde est dispersive (s'étalant au fil du temps) ou non dispersive (conservant sa forme), et elle est cruciale pour comprendre des phénomènes allant des vagues océaniques aux particules quantiques.

Histoire

Le concept est apparu au XIXe siècle avec l'étude de la lumière et des vagues. William Rowan Hamilton et d'autres ont développé le cadre mathématique, mais c'est Lord Rayleigh qui l'a systématiquement appliqué à la propagation des ondes dans les années 1870. En mécanique quantique, Louis de Broglie et Erwin Schrödinger ont ensuite utilisé les relations de dispersion pour décrire les ondes de matière.

Comment ça marche

Pour une onde de pulsation ω et de nombre d'onde k, la relation de dispersion s'écrit souvent ω(k). La vitesse de phase (v_p = ω/k) indique la vitesse à laquelle se déplace une crête individuelle, tandis que la vitesse de groupe (v_g = dω/dk) indique la vitesse à laquelle l'énergie globale d'un paquet d'ondes se propage. Lorsque v_p dépend de k, le milieu est dispersif, ce qui provoque la séparation des différentes composantes de fréquence, comme on l'observe lorsque la lumière blanche traverse un prisme.

En pratique

Les relations de dispersion sont utilisées en optique des fibres pour gérer l'étalement des impulsions, en sismologie pour déduire la structure interne de la Terre, et en physique de la matière condensée pour calculer la structure de bandes électroniques des matériaux.

Anecdote

Dans le vide, la lumière possède une relation de dispersion parfaitement linéaire (ω = ck), ce qui signifie que toutes les fréquences se propagent à la même vitesse ; c'est pourquoi une impulsion lumineuse ne s'étale pas dans l'espace vide.

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