The Lotka-Volterra equations are a pair of first-order nonlinear differential equations used to model predator-prey interactions in biological systems.Dans les années 1920, le mathématicien américain Alfred Lotka et le physicien italien Vito Volterra ont indépendamment élaboré un système de deux équations différentielles décrivant la dynamique de populations en interaction. Lotka s'intéressait aux réactions chimiques et a étendu l'idée à l'écologie, tandis que Volterra a répondu à la demande d'un zoologiste d'expliquer les étranges fluctuations des captures de poisson dans l'Adriatique après la Première Guerre mondiale. Les équations sont simples : le taux de croissance des proies est proportionnel à leur nombre, mais diminue proportionnellement aux rencontres avec les prédateurs ; le taux de croissance des prédateurs est proportionnel à leur nombre et à celui des proies, mais il y a aussi une mortalité naturelle. La solution donne des cycles neutres : l'amplitude des oscillations dépend des conditions initiales, et la moindre perturbation modifie la trajectoire pour toujours. C'est une idéalisation : en réalité, les cycles s'amortissent souvent ou deviennent chaotiques à cause de facteurs externes.
Alfred Lotka a publié en 1920 un article sur les oscillations chimiques, où il présentait des équations pour des réactions autocatalytiques, et en 1925, dans son livre « Éléments de biologie physique », il les a appliquées à l'écologie. Vito Volterra, en 1926, inspiré par les données sur les captures de poisson que lui avait montrées son gendre zoologiste Umberto d'Ancona, a établi les mêmes équations et étudié leurs propriétés. Il est intéressant de noter que Volterra considérait initialement le modèle comme un argument contre la surpêche : il a montré qu'une augmentation proportionnelle de la capture des deux espèces augmentait paradoxalement la proportion de prédateurs. Par la suite, le modèle a été étendu à la compétition, au mutualisme et aux systèmes avec retard.
Il est utilisé pour l'analyse qualitative des systèmes écologiques : il prédit la cyclicité, estime les seuils d'extinction, aide à concevoir des stratégies de biocontrôle. Par exemple, en pêche, le modèle explique pourquoi une capture intensive des prédateurs peut entraîner une explosion des effectifs d'espèces de faible valeur. Limites d'applicabilité : il suppose un milieu homogène et une réaction instantanée des populations, ce qui n'est pas le cas dans les écosystèmes réels avec saisonnalité, migrations et adaptation évolutive.
Prévision des pullulations de ravageurs en agriculture et évaluation de la viabilité des populations d'espèces rares dans les réserves naturelles.
Volterra est arrivé à son modèle en réfléchissant à la pêche : pendant la guerre, la pêche a cessé et la proportion de poissons prédateurs dans les captures a augmenté. Il a compris que la diminution de la capture des proies avait entraîné une augmentation des prédateurs — des mathématiques pures.
| α | variable | Scaling exponent (same as in power law) |
| K | variable | Luttinger parameter — luttinger parameter |
