Принцип наименьшего действия гласит, что физические системы эволюционируют по путям, которые минимизируют функционал действия.Ещё в античности Герон Александрийский заметил, что свет отражается под равными углами, словно стремясь пройти кратчайший путь. В 1744 году Пьер Луи Мопертюи сформулировал общий принцип: природа всегда действует самым экономным образом. Леонард Эйлер и Жозеф-Луи Лагранж развили математику: для механических систем существует функция Лагранжа L (разность кинетической и потенциальной энергии), а интеграл от неё по времени — действие S — должен быть минимален на реальной траектории. Уильям Гамильтон переформулировал механику через действие, а Эмми Нётер показала, что из инвариантности (неизменности) действия относительно преобразований следуют законы сохранения — энергии, импульса, заряда. Сегодня принцип наименьшего действия — фундамент всей теоретической физики.
Античные механики (Герон) использовали идею кратчайшего пути для света. Пьер Луи Мопертюи в 1744 г. выдвинул телеологический «закон экономии». Леонард Эйлер переформулировал его для механики, а Жозеф-Луи Лагранж (1788) создал аналитическую механику на основе вариационного исчисления. Уильям Роуэн Гамильтон (1834–35) ввёл понятие действия как фундаментального понятия. Эмми Нётер в 1918 г. установила связь между симметриями действия и законами сохранения. Анри Пуанкаре развил теорию вариационных принципов в небесной механике и теории относительности.
Принцип применим к любым системам с конечным или бесконечным числом степеней свободы при условии, что уравнения движения можно получить из вариационного принципа. Ограничения: диссипативные системы (с трением) могут не быть вариационными без введения дополнительных переменных. В квантовой механике принцип наименьшего действия — предельный случай ℏ → 0, но квантовые поправки описываются суммой по всем траекториям. Современные теории, включая струнную, опираются на лагранжеву форму.
Позволяет строить оптимальные траектории космических аппаратов и проектировать энергоэффективные механизмы.
С помощью этого принципа выводятся уравнения Максвелла для электромагнетизма и уравнение Шрёдингера в квантовой механике.
| Ψ | переменная | Волновая функция — волновая функция |
| t | переменная | Время — время с |
| τ | переменная | Временной шаг — time step с |
| e^{τW} | оператор | Применяет оператор эволюции для части W — exponential operator |
| e^{τT} | оператор | Применяет оператор эволюции для части T — exponential operator |
| θ | переменная | Вектор состояния — state vector |
| F(θ) | переменная | Функция ожидаемого приращения — increment function |
| ˙ | оператор | Производная по времени — производная по времени |
| τ_P | переменная | напряжение Пайерлса–Набарро — peierls nabarro stress Па |
| G | переменная | модуль сдвига кристалла — shear modulus Па |
| ν | переменная | коэффициент Пуассона — poissons ratio |
| W | переменная | ширина дислокации — dislocation width м |
| b | переменная | величина вектора Бюргерса — burgers vector magnitude м |
| φ | переменная | Конфигурация скалярного поля — скалярное поле |
| ∇² | оператор | Лапласиан (сумма вторых пространственных производных) — laplacian operator |
