La structure de bande montre quelles valeurs d'énergie sont autorisées pour un électron dans un cristal en fonction de son impulsion (plus précisément, du vecteur d'onde k). En raison de la périodicité du réseau, des plages d'énergies interdites apparaissent — les bandes interdites. Si le minimum de la bande de conduction et le maximum de la bande de valence coïncident pour une même valeur de k, on parle de gap direct ; s'ils sont différents, de gap indirect. Selon la largeur de la bande interdite, on distingue les conducteurs (pas de gap), les semi-conducteurs (gap 0,1–2 eV) et les isolants (plus de 2 eV).
Histoire
Felix Bloch a établi en 1928 le théorème sur la fonction d'onde dans un potentiel périodique, jetant les bases de la théorie des bandes. Alan Wilson, dans les années 1930, a expliqué la classification des substances en métaux, isolants et semi-conducteurs. Les méthodes expérimentales, comme la spectroscopie de photoémission (ARPES), ont confirmé ces idées dans les années 1950-1960. Leo Esaki a créé les premières hétérostructures semi-conductrices, ouvrant la voie à l'ingénierie de bande et aux dispositifs à puits quantiques.
Comment ça marche
Le potentiel périodique du cristal diagonalise l'hamiltonien dans la base des ondes planes, conduisant à la structure de bande. En raison de la périodicité, les vecteurs d'onde différant d'un vecteur du réseau réciproque G sont équivalents : k ≡ k+G. Dans le modèle des électrons presque libres, un gap apparaît à la frontière de la zone de Brillouin : E(k) = (ħ²k²)/(2m) ± |U_G|. Dans l'approximation des liaisons fortes, les bandes sont formées par le chevauchement des orbitales atomiques. Un champ électrique appliqué modifie le k de l'électron : dk/dt = –eE/ħ, ce qui équivaut à l'accélération d'une particule de masse effective m*, déterminée par la courbure de la bande. Les transitions optiques conservant k (directes) dominent l'absorption et l'émission. Les propriétés topologiques des bandes, comme l'invariant de Chern, peuvent conduire à l'apparition d'états de bordconducteurs (isolants topologiques).
En pratique
La structure de bande détermine la couleur des LED, le rendement des cellules solaires et la rapidité des transistors. Par exemple, le graphène, avec sa structure de bande unique, promet une électronique ultra-rapide.
Anecdote
Dans le graphène — une seule feuille de carbone — la structure de bande est unique : la bande de valence et la bande de conduction se touchent au point de Dirac, formant des cônes. Les électrons s'y comportent comme des particules sans masse, semblables aux photons, et peuvent atteindre des vitesses de l'ordre d'un million de mètres par seconde.
Le gâteau en couches de disulfure de molybdène MoS2 repose sur la paillasse du laboratoire. On le prépare de la manière habituelle : un ruban adhésif arrache les couches supérieures pour obtenir un échantillon mince. Mais sous le ruban subsiste une cavité invisible, où les étages atomiques ne sont plus pressés les uns contre les autres.
Dans certains cristaux, les électrons ne sont pas répartis uniformément, mais s'organisent en un strict damier : sur une case, il y a plus d'électrons, sur la case voisine, moins. Ce motif est appelé ordre de charge, et on l'a longtemps considéré comme quelque chose de figé, un peu comme les motifs sur une vitre givrée.
Les polymères lamellaires ressemblent à un immeuble à plusieurs étages, où chaque étage est peint d'une couleur différente, et où des fissures apparaissent parfois entre les étages. Ces fissures sont des paires de dislocations : des ruptures de périodicité qui endommagent le matériau. Les ingénieurs cherchent depuis longtemps à contrôler ces défauts sans avoir à reconstruire tout l'immeuble.
Dans un massif montagneux, il y a des sentiers que l'on peut réduire à un point en suivant une vallée plate. Mais il existe aussi des itinéraires en boucle impossibles à contracter sans franchir une crête.
Un cartographe reçoit une feuille avec les distances entre des centaines d'îles anonymes. Aucune île n'est nommée, mais les distances se répètent, s'assemblent en triangles et en quadrilatères. Grâce à ces répétitions, le cartographe reconstitue la carte de l'archipel, sans savoir comment chaque île s'appelle.
La lumière qui naît lorsqu'un électron rapide pénètre dans un matériau est généralement considérée comme identique dans toutes les directions. Mais dans les cristaux où les propriétés optiques dépendent de l'orientation, ce n'est pas le cas. Passez la main sur du velours : dans un sens, il est lisse et brillant ; dans l'autre, il est sombre et rugueux.
Dans une pièce sombre, une étincelle jaillit entre deux fils — et l'instant d'après, il fait clair. Les physiciens ont fait quelque chose de semblable, mais un million de fois plus petit : à la frontière de deux cristaux transparents, ils ont tracé une piste conductrice et y ont laissé une coupure large de quelques atomes.
Dans un couloir étroit, les gens ne marchent pas en foule mais en rangées. Le nombre de rangées dépend de la largeur du passage. Dans le graphène, ce couloir est joué par un contact ponctuel quantique — une constriction où les électrons se déplacent balistiquement, sans diffusion.
Dans une casserole d'eau flottent des billes microscopiques — des particules colloïdales. Chaque bille est recouverte de longs filaments polymères, semblables à une brosse, et porte une charge électrique. Si l'on choisit correctement la température et la composition de la solution, les billes commencent d'elles-mêmes à s'organiser en motifs ordonnés — des cristaux.
Une piste de danse vide, où quelques personnes apparaissent de temps en temps. Chacun se déplace à sa guise, de manière chaotique, sans aucun lien avec les autres. Mais dès qu'on met une certaine musique et qu'on refroidit un peu la salle, les danseurs se mettent soudain à s'aligner en longues chaînes et à bouger à l'unisson. C'est à peu près ce que font les électrons dans un gaz tridimensionnel raréfié.
Quand on pince une corde de guitare exactement en son milieu, elle ne produit que des harmoniques impaires. La même règle s'applique aux cristaux symétriques : lorsque la lumière arrache des électrons, leur rayonnement ne contient que des harmoniques impaires. Mais des physiciens ont trouvé un moyen de contourner cette interdiction. Et sans déplacer le moindre atome.
Dans un cristal, les électrons ne sont pas répartis au hasard. Leurs ondes obéissent à la symétrie du réseau — comme les rides sur l'eau prennent la forme de l'anneau qu'on y a jeté.
Frappez une table, et le son s'éteint rapidement. Les ondes élastiques dans les solides se comportent généralement comme des ronds dans l'eau : elles se propagent depuis la source et s'amortissent. Mais il existe un moyen de les faire rester sur place : créer une « bande plate » dans le spectre des fréquences.
Dans une feuille ultramince de graphène à quatre couches, les électrons peuvent se comporter comme un liquide figé. Sous un fort refroidissement et sous l'effet d'un champ électrique, ils cessent de s'agiter et s'alignent en un motif régulier — un cristal de Wigner.
Un diapason frappé émet un son pur et durable. Mais si l'on secoue légèrement la fourche pendant qu'elle sonne, le son se met à trembler et s'éteint rapidement. C'est à peu près ce qui se passe avec les électrons dans n'importe quel morceau de matière. Les atomes du réseau ne restent jamais en place : les vibrations thermiques les font trembler continuellement.
Une mosaïque de carrés et de triangles recouvre le sol sans laisser d'espace, mais ne forme pas un motif simple qui se répète. Un tel motif est un quasi-cristal, un solide où les atomes sont disposés non pas périodiquement, mais selon un motif composé de plusieurs ondes de longueurs différentes.
Plier une feuille de papier est facile. Mais la comprimer en poussant sur le bord, c'est tout autre chose : le papier se froisse, mais transmet à peine l'effort plus loin. C'est ainsi que fonctionne l'élasticité ordinaire — la déformation dépend de l'endroit et de la manière dont on appuie. Le nouveau réseau tridimensionnel pousse ce contraste à l'extrême.
Un nid d'abeilles fait non pas de cire mais d'atomes, c'est le graphène, un cristal plat d'une épaisseur d'une seule couche. Les électrons y ressemblent à des coureurs à un carrefour : ils accélèrent par endroits, ralentissent ailleurs, mais ne restent jamais bloqués sur le bord.
Une ville la nuit : certaines fenêtres sont éclairées, d'autres sont sombres. Si l'on relie par des lignes les fenêtres qui s'allument simultanément, on obtient une toile de connexions. C'est une telle toile que des chercheurs ont étudiée pour de minuscules organoïdes cérébraux – des amas vivants de cellules nerveuses cultivés en laboratoire.
Deux feuilles de séléniure de tungstène — non pas en carbone, mais en un composé de tungstène et de sélénium — sont tournées l'une par rapport à l'autre d'un angle minuscule, d'environ 5 degrés. Il en résulte un motif de moiré : un réseau périodique agrandi où les électrons se comportent tout autrement que dans un cristal ordinaire.
Le thorium-229 garde un secret : son noyau possède l'état excité le plus bas de tous les nucléides connus — 8,35 eV. Ce n'est pas l'énergie d'un sursaut gamma, mais celle d'un photon ultraviolet, et c'est pourquoi l'isomère du thorium est un système hybride, vivant à l'interface entre la…
Dans un orchestre, les musiciens jouent chacun leur partition sans entendre les autres. Dans un cristal parfait de disulfure de tungstène sur graphène, les excitons — paires liées électron-trou — se comportent de la même manière : ils ne se mélangent presque pas en raison d'une symétrie cachée appelée symétrie de vallée.
Un électron plonge dans un cristal, changeant son énergie au passage. Dans un réseau ordinaire, il voit une alternance de bandes autorisées et de lacunes interdites — c'est l'alphabet des semi-conducteurs. Mais dans un quasi-cristal, le motif des atomes ne se répète jamais exactement.
Un surfeur glisse sur la surface de l'océan jusqu'à ce qu'une grosse vague arrive – et le voilà projeté vers l'avant. C'est à peu près ainsi qu'un électron libre interagit avec la lumière : en général, l'échange d'énergie est à peine perceptible, mais si le milieu environnant commence à osciller rythmiquement, chaque crête de vague pousse la particule de plus en plus fort.
Une feuille de papier quadrillée, une feuille en losanges et une feuille en nid d'abeille : trois univers différents pour une fourmi. Changez la feuille, et les règles du mouvement changent. C'est à peu près ainsi que les électrons perçoivent le réseau cristallin : la géométrie dicte s'ils seront des aimants, des supraconducteurs ou autre chose.
Dans un long couloir, une foule de personnes essaie de rester à distance les unes des autres. Dans une salle spacieuse, elles se seraient simplement écartées, mais ici les murs sont si serrés qu'il faut avancer en file indienne, en coordonnant chaque pas. C'est ainsi que se comportent les électrons dans les couches de graphène tournées l'une par rapport à l'autre d'un angle minuscule.
Les électrons dans un cristal évoquent des voitures dans les rues d'une ville : certains filent sur les boulevards, d'autres restent coincés dans les embouteillages. Dans certains réseaux, le mouvement s'arrête complètement : la vitesse cesse de dépendre de l'énergie, et les électrons deviennent « plats ». Ce n'est pas un bouchon, mais un rythme particulier du réseau, où les ondes s'annulent mutuellement.
Imaginez un manège avec deux types de sièges : les uns tournent dans le sens des aiguilles d'une montre, les autres dans le sens inverse. Si on pousse tous les sièges d'un coup, le manège tressaute mais reste sur place.
La lumière frappe un cristal et arrache un électron de sa place légitime. Il reste un vide — un trou, qui se comporte comme une charge positive. L'électron et le trou s'attirent et tournent l'un autour de l'autre, comme un couple dansant un slow. Une telle paire s'appelle un exciton (du mot « excitation »).
Mais cette danse n'a pas lieu dans le vide.
Une particule quantique qui parcourt un anneau fermé laisse deux « enregistrements » différents sur son passage. Le premier est comme une empreinte digitale sur une poignée de porte : il reste inchangé, quel que soit le nombre de fois où l'on tourne la poignée, et ne renseigne que sur la forme et le matériau.
Un élastique qui devient plus épais à mesure qu'on le tire. En électricité, ce comportement s'appelle la capacité négative : plus la charge s'accumule sur les armatures, plus la tension diminue. Un condensateur ordinaire fonctionne à l'inverse — la tension augmente avec la charge.
Un cristal, c'est comme un régiment en parade : chaque atome à sa place, et les électrons y défilent en ondes régulières. Un matériau amorphe, c'est une foule dans une gare : aucun ordre, juste une cohue permanente. Dans une telle foule, un électron se retrouve vite coincé, comme une personne qui tente de traverser une masse compacte de gens.
La lumière du soleil frappe une plaquette de silicium – et un courant apparaît dans le circuit. C'est le fonctionnement habituel d'une cellule photovoltaïque : la lumière arrache des électrons, et la jonction p-n (la frontière entre deux couches de conductivités différentes) les force à se déplacer dans une même direction.
Si l'on change non pas la composition mais seulement la disposition des atomes, on peut faire en sorte qu'un même matériau conduise le courant ou absorbe la lumière différemment. C'est exactement ce que les auteurs de l'étude ont fait avec des oxydes de nickel et de cobalt.
Un immeuble à plusieurs étages où vivent des protons et des neutrons à chaque niveau. Les étages représentent les niveaux d'énergie, et habituellement, entre le sixième étage et le suivant, il y a une cage d'escalier d'une certaine hauteur – ce qu'on appelle une lacune. Dans le noyau de l'atome d'oxygène-20, cette lacune joue le rôle d'une barrière difficile à franchir pour les particules.
Des centaines de personnes sur une piste de danse se tiennent à égale distance les unes des autres — un ordre strict, comme dans un réseau cristallin. La musique lente représente les vibrations thermiques, qui font doucement tanguer les danseurs. Si la musique devient plus forte et plus rapide, l'ordre s'effondre : tout le monde se mélange.
Une feuille de tellurure de tungstène d'un atome d'épaisseur ressemble à une fine pellicule : les électrons ne la traversent pas, car une bande interdite sépare leurs états possibles, comme un fossé qu'on ne peut pas sauter. Ajoutez deux couches de plus, et le fossé disparaît : le matériau devient métallique, le courant passe.
Un cristal ordinaire, c'est comme un immeuble : les électrons y circulent dans des couloirs et des escaliers communs, s'influençant mutuellement à travers les murs. Maintenant, enlevons tous les murs, ne laissant qu'une seule rangée d'appartements.
