Гамильтонова механика — это переформулировка классической механики, описывающая эволюцию системы с помощью обобщённых координат и импульсов.Главное действующее лицо гамильтоновой механики — функция Гамильтона, то есть полная энергия системы, записанная через координаты и импульсы. В отличие от ньютоновского подхода, где сила вызывает ускорение, здесь царит энергия. Пара уравнений Гамильтона (первое — связь скорости с импульсом, второе — изменение импульса с силой) превращает механику в геометрию фазового пространства: каждое состояние — точка, а эволюция — линия на энергетическом ландшафте. Такой взгляд проясняет, почему сохраняются энергия, импульс и другие величины.
Идея выросла из геометрической оптики. Уильям Роуэн Гамильтон в 1833 году применил оптико-механическую аналогию, чтобы переписать законы Ньютона в терминах энергии. Позже Анри Пуанкаре использовал гамильтоновы методы для анализа устойчивости Солнечной системы, положив начало теории хаоса. Эмми Нётер доказала, что каждой непрерывной симметрии гамильтоновой системы соответствует сохраняющаяся величина — этот результат скрепил фундамент всей современной физики.
Функция Гамильтона H генерирует векторное поле в фазовом пространстве. Интегральные кривые этого поля — траектории системы. Если H не зависит от времени явно, энергия сохраняется. В квантовой картине гамильтониан становится оператором, определяющим эволюцию волновой функции через уравнение Шрёдингера. Канонические преобразования здесь переходят в унитарные преобразования, а теорема Лиувилля — в унитарность квантовой эволюции.
Расчёт орбит спутников, моделирование квантовых компьютеров, синтез новых материалов с заданными свойствами.
Аппарат оказался настолько изящным, что практически без изменений перешёл в квантовую механику: оператор Гамильтона (гамильтониан) стал основным инструментом описания частиц и полей.
| H | переменная | Гамильтониан (оператор полной энергии) — гамильтониан Дж |
| J_{ij} | переменная | Константа обменной связи между узлами i и j — обменная связь Дж |
| \mathbf{S}_i | переменная | Оператор спина на узле i — spin operator |
| \mathbf{S}_j | переменная | Оператор спина на узле j — spin operator |
| \sum_{\langle i,j \r | оператор | Суммирование по всем парам соседних узлов решётки — sum over nearest neighbors |
| H_eff | переменная | эффективный статический гамильтониан — гамильтониан Дж |
| H_0 | переменная | усреднённый по времени гамильтониан — гамильтониан Дж |
| H_{-1} | переменная | первая отрицательная компонента Фурье гамильтониана — гамильтониан Дж |
| H_{+1} | переменная | первая положительная компонента Фурье гамильтониана — гамильтониан Дж |
| frequency | переменная | частота управления — угловая частота рад/с |
| [ , ] | оператор | измеряет некоммутативность двух операторов — коммутатор |
| H | переменная | оператор Гамильтониана — гамильтониан Дж |
| t | переменная | амплитуда перескока — энергия Дж |
| γ_{2j} | переменная | майорановский оператор на узле 2j — majorana operator |
| γ_{2j+1} | переменная | майорановский оператор на узле 2j+1 — majorana operator |
| ∑ | оператор | сумма по узлам решётки j — суммирование |
| x | переменная | Положение частицы — положение м |
| γ | переменная | Коэффициент трения — damping coefficient 1/с |
| ω | переменная | Собственная угловая частота осциллятора — угловая частота рад/с |
| η(t) | переменная | Случайная сила (шум) как функция времени — random force Н/кг |
| d²/dt² | оператор | Вторая производная по времени — second time derivative |
| d/dt | оператор | Первая производная по времени — first time derivative |
| J | переменная | константа обменной связи — exchange coupling constant Дж |
| σ₊ | переменная | оператор повышения спина — spin raising operator |
| σ₋ | переменная | оператор понижения спина — spin lowering operator |
