Hamiltonian mechanics is a reformulation of classical mechanics that describes the evolution of a system using generalized coordinates and momenta.Le protagoniste de la mécanique hamiltonienne est la fonction de Hamilton, c'est-à-dire l'énergie totale du système, exprimée en termes de coordonnées et d'impulsions. Contrairement à l'approche newtonienne, où la force provoque l'accélération, ici c'est l'énergie qui règne. Une paire d'équations de Hamilton (la première relie la vitesse à l'impulsion, la seconde lie la variation de l'impulsion à la force) transforme la mécanique en géométrie de l'espace des phases : chaque état est un point, et l'évolution une ligne sur le paysage énergétique. Cette perspective éclaire pourquoi l'énergie, l'impulsion et d'autres grandeurs se conservent.
L'idée est née de l'optique géométrique. William Rowan Hamilton appliqua en 1833 l'analogie optico-mécanique pour réécrire les lois de Newton en termes d'énergie. Plus tard, Henri Poincaré utilisa les méthodes hamiltoniennes pour analyser la stabilité du système solaire, jetant les bases de la théorie du chaos. Emmy Noether démontra qu'à chaque symétrie continue d'un système hamiltonien correspond une grandeur conservée – ce résultat a scellé le fondement de toute la physique moderne.
La fonction de Hamilton H engendre un champ vectoriel dans l'espace des phases. Les courbes intégrales de ce champ sont les trajectoires du système. Si H ne dépend pas explicitement du temps, l'énergie est conservée. Dans le tableau quantique, l'hamiltonien devient un opérateur qui détermine l'évolution de la fonction d'onde par l'équation de Schrödinger. Les transformations canoniques se transforment ici en transformations unitaires, et le théorème de Liouville en unitarité de l'évolution quantique.
Calcul des orbites des satellites, modélisation des ordinateurs quantiques, synthèse de nouveaux matériaux aux propriétés spécifiques.
L'appareil mathématique s'est révélé si élégant qu'il est passé presque inchangé à la mécanique quantique : l'opérateur hamiltonien (hamiltonien) est devenu l'outil principal pour décrire les particules et les champs.
| H | variable | Hamiltonian (total energy operator) — hamiltonien joule |
| J_{ij} | variable | Exchange coupling constant between sites i and j — couplage d'échange joule |
| \mathbf{S}_i | variable | Spin operator at site i — spin operator |
| \mathbf{S}_j | variable | Spin operator at site j — spin operator |
| \sum_{\langle i,j \r | opérateur | Summation over all pairs of adjacent lattice sites — sum over nearest neighbors |
| H_eff | variable | effective static Hamiltonian — hamiltonien joule |
| H_0 | variable | time-averaged Hamiltonian — hamiltonien joule |
| H_{-1} | variable | first negative Fourier component of the Hamiltonian — hamiltonien joule |
| H_{+1} | variable | first positive Fourier component of the Hamiltonian — hamiltonien joule |
| frequency | variable | driving frequency — fréquence angulaire radian per second |
| [ , ] | opérateur | measures the non-commutativity of two operators — commutateur |
| H | variable | Hamiltonian operator — hamiltonien joule |
| t | variable | hopping amplitude — énergie joule |
| γ_{2j} | variable | Majorana operator at site 2j — majorana operator |
| γ_{2j+1} | variable | Majorana operator at site 2j+1 — majorana operator |
| ∑ | opérateur | sum over lattice sites j — somme |
| x | variable | Position of the particle — position metre |
| γ | variable | Damping coefficient — damping coefficient per second |
| ω | variable | Natural angular frequency of the oscillator — fréquence angulaire radian per second |
| η(t) | variable | Random force (noise) as a function of time — random force newton per kilogram |
| d²/dt² | opérateur | Second derivative with respect to time — second time derivative |
| d/dt | opérateur | First derivative with respect to time — first time derivative |
| J | variable | exchange coupling constant — exchange coupling constant joule |
| σ₊ | variable | spin raising operator — spin raising operator |
| σ₋ | variable | spin lowering operator — spin lowering operator |
