معادلة الجيوديسيةمعادلة
معادلة الجيوديسية هي عنصر مركزي في نظرية النسبية العامة لأينشتاين. إنها تعمم قانون القصور الذاتي لنيوتن ليشمل حالة الزمكان المنحني. يقوم الجسم الضخم بتقويس المتصل الزمكاني، وتتحرك جسيمات الاختبار على طول خط يقلل الزمن الخاص (الزمن المقاس بساعة تتحرك مع الجسيم). يوصف ذلك هندسياً عبر رموز كريستوفل – كميات تميز الانحناء. تبدو المعادلة على الشكل d²x^μ/dτ² + Γ^μ_{νρ} (dx^ν/dτ)(dx^ρ/dτ) = 0، حيث الحد الأول هو تسارع نيوتن، والثاني تصحيح بسبب الانحناء.
كيف يعمل
الأقمار في مداراتها، الكواكب حول الشمس، شعاع الضوء المار بقرب نجم، كل ذلك يتبع الجيوديسيات في الزمكان المنحني. الحركة بدون محركات، فقط تحت تأثير الجاذبية، تكون دائماً جيوديسية.
💡 الضوء، رغم عدم امتلاكه كتلة، يتحرك أيضاً على الجيوديسيات، لكنها جيوديسيات صفرية تحدد مسارات الجسيمات عديمة الكتلة. هذا يؤدي إلى العدسية الجاذبية – تشوه صور المجرات البعيدة.
\frac{d^2 x^\mu}{d\tau^2} + \Gamma^\mu_{\nu\rho} \frac{dx^\nu}{d\tau} \frac{dx^\rho}{d\tau} = 0
x^μ هي الإحداثيات (μ = 0,1,2,3؛ x^0 = ct — زمنية)، τ هو الزمن الخاص (فترة الزمن حسب ساعة الجسيم المتحرك)، Γ^μ_{νρ} هي رموز كريستوفل (معاملات الترابط التي تحدد انحناء الزمكان؛ لا بعدية، تعتمد على المترية g_μν)، d²x^μ/dτ² هو التسارع الرباعي، dx^ν/dτ و dx^ρ/dτ هي مركبات السرعة الرباعية.