ecuación geodésicaecuación
La ecuación geodésica es un elemento central de la teoría general de la relatividad de Einstein. Generaliza la ley de inercia de Newton al caso del espacio-tiempo curvo. Un cuerpo masivo curva el continuo espacio-tiempo, y una partícula de prueba se mueve a lo largo de una línea que minimiza su tiempo propio (tiempo medido por un reloj que se mueve junto con la partícula). Geométricamente, esto se describe mediante los símbolos de Christoffel, magnitudes que caracterizan la curvatura. La ecuación tiene la forma d²x^μ/dτ² + Γ^μ_{νρ} (dx^ν/dτ)(dx^ρ/dτ) = 0, donde el primer sumando es la aceleración newtoniana y el segundo es la corrección por curvatura.
How it works
Los satélites en órbita, los planetas alrededor del Sol, un rayo de luz que pasa cerca de una estrella, todo sigue geodésicas en el espacio-tiempo curvo. El movimiento sin motores, solo bajo la influencia de la gravedad, es siempre geodésico.
💡 La luz, aunque no tiene masa, también se mueve por geodésicas, pero nulas, que definen las trayectorias de partículas sin masa. Esto da lugar a las lentes gravitacionales, la distorsión de las imágenes de galaxias lejanas.
\frac{d^2 x^\mu}{d\tau^2} + \Gamma^\mu_{\nu\rho} \frac{dx^\nu}{d\tau} \frac{dx^\rho}{d\tau} = 0
x^μ — coordenadas (μ = 0,1,2,3; x^0 = ct — temporal), τ — tiempo propio (intervalo de tiempo según el reloj de la partícula en movimiento), Γ^μ_{νρ} — símbolos de Christoffel (coeficientes de conexión que determinan la curvatura del espacio-tiempo; adimensionales, dependen de la métrica g_{μν}), d²x^μ/dτ² — 4-aceleración, dx^ν/dτ y dx^ρ/dτ — componentes de la 4-velocidad.