уравнение геодезическихуравнение
Уравнение геодезических — центральный элемент общей теории относительности Эйнштейна. Оно обобщает закон инерции Ньютона на случай искривлённого пространства-времени. Массивное тело прогибает пространственно-временной континуум, и пробная частица движется по линии, минимизирующей собственное время (время, измеренное по часам, движущимся вместе с частицей). Геометрически это описывается через символы Кристоффеля — величины, характеризующие искривление. Уравнение выглядит как d²x^μ/dτ² + Γ^μ_{νρ} (dx^ν/dτ)(dx^ρ/dτ) = 0, где первое слагаемое — ньютоновское ускорение, а второе — поправка за кривизну.
Как работает
Спутники на орбите, планеты вокруг Солнца, луч света, проходящий мимо звезды, — всё это следует геодезическим в искривлённом пространстве-времени. Движение без двигателей, только под влиянием гравитации, всегда геодезическое.
💡 Свет, не имея массы, тоже движется по геодезическим, но уже нулевым, задающим траектории безмассовых частиц. Это приводит к гравитационному линзированию — искажению изображений далёких галактик.
\frac{d^2 x^\mu}{d\tau^2} + \Gamma^\mu_{\nu\rho} \frac{dx^\nu}{d\tau} \frac{dx^\rho}{d\tau} = 0
x^μ — координаты (μ = 0,1,2,3; x^0 = ct — временная), τ — собственное время (интервал времени по часам движущейся частицы), Γ^μ_{νρ} — символы Кристоффеля (коэффициенты связности, определяющие кривизну пространства-времени; безразмерны, зависят от метрики g_μν), d²x^μ/dτ² — 4-ускорение, dx^ν/dτ и dx^ρ/dτ — компоненты 4-скорости.